冷月虐哭数一之高等数学(1)-递归数列极限的求法和证明

作者: 学长冷月 分类: 高等数学 发布时间: 2020-05-07 点击量: 117

前言

高等数学是理工科考研都需要考的科目之一,不管是数一、数二、数三都是考纲中的内容。而极限又是高数中的基础,是微分学的基础。所以,我们一定要打好基础,才能在考试中拿到高分。冷月总结了递归数列极限的求法和证明,希望能够帮助到各位小伙伴。本文为李正元数一全书为参考。

方法论

如果有一个数列极限 an 满足递归方程a{n+1} = f(a_n)(n=1,2,3,4,5,6),其中f是一个已知的一元连续函数,则称数列{an}为递归函数。

由递归的定义可以知,由a1可以求出a2,由a2可以求出a3,由a3可以求出a4,依次类推可以求出an。

一般,常考体型会给出第一项,也就是a1,然后给出递归表达式,然后让我们求出n ->无穷,an的极限。

下面,冷月给出两个方法:

1.先证明递归数列{an}收敛(常用单调有界数列必有极限),然后设lim n->无穷 Xn = A,再对递归方程an+1 = f(an)取极限A=f(A),最后解出极限即可。

2.先设lim n->无穷 Xn = A,对递归方程an+1 = f(an)取极限A=f(A)解出A,再用适当方法证明lim n->无穷 = A(一般用极限的定义)。

注意:
我们在讨论数列的单调性时,可以利用递归函数f(x)的单调性来判断。因为, a_{n+1} = f(a_n)若an属于区间I,若f(x)在区间I中单调递增,且a2>a1(a2<a1),那么数列{an}单增(单减);若f(x)在区间I中单调递减,数列{an}不具有单调性。

例题

1.递归数列极限的求法和证明

第一题对应方法论中的一,题目中给出了a1的范围和递推推导式,那么只需要先证明数列有界,利用推导式的单调性判断出数列单调即可证明数列{an}单调有界,那么它必有极限。再设lim an = A (n->无穷),联立推导式即可解出A。这道题属于常规的题。

2.
递归数列极限的求法和证明

第一题对应方法论中的二,题目中给出了a1的范围和递推推导式,但是推导式单调递减,那么数列不具备单调性。但是非单调的数列也可以存在极限。我们不能一棍子打死。我们可以先设lim an = A (n->无穷),联立推导式即可解出A。右题可以见A是存在的,但是我们只是假设,一定要验证。这里使用数列极限的定义来证明,不懂的小伙伴可以加关注冷月的其他博文,有详细讲解。学长冷月的博客

总结

这类题,数一、数二很喜欢考,但是很多的小伙伴都弄不清楚。大家可以先把上面的两道题搞清楚,在找一些类似的题做一下,相信一定可以拿下这类题的。冷月每天都会分享一些知识点,包括数学,专业课408.大家可以关注冷月的博客和冷月一起刷题一起上岸。学长冷月的博客

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